Question

【題目】已知橢圓方程為 +y2=1，圓C：（x﹣1）2+y2=r2 ．
（Ⅰ）求橢圓上動點P與圓心C距離的最小值；
（Ⅱ）如圖，直線l與橢圓相交于A、B兩點，且與圓C相切于點M，若滿足M為線段AB中點的直線l有4條，求半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設P（x，y），丨PC丨= = = ，

由﹣2≤x≤2，當x= 時，丨PC丨min= ，

（Ⅱ）當直線AB斜率不存在時且與橢圓C相切時，M在x軸上，

故滿足條件的直線有兩條；

當直線AB斜率存在時，設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

由 ，整理得： =﹣ × ，

則kAB=﹣ ，kMC= ，kMC×kAB=﹣1，

則kMC×kAB=﹣ × =﹣1，解得：x0= ，

由M在橢圓內部，則 ，解得：y02＜ ，

由：r2=（x0﹣1）2+y02= +y02，

∴ ＜r2＜ ，解得： ＜r＜ ．

∴半徑r的取值范圍（ ， ）

【解析】（Ⅰ）利用兩點之間的距離公式，根據x的取值范圍，即可求得丨PC丨的最小值；（Ⅱ）利用點差法求得直線AB的斜率，根據kMC×kAB=﹣1，求得M點坐標，由 ，求得y02＜ ，由圓的方程，即可求得半徑r的取值范圍．