Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D為AC的中點，點D₁是A₁C₁上的一點，若BC₁∥平面AB₁D₁，則

A1D1

D1C1

等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．2
• D．3

Answer 1

分析：利用線面、面面平行的判定定理和性質定理、反證法即可得出．

解答：解：若BC₁∥平面AB₁D₁，則

A1D1

D1C1

=1．如圖所示：
①當D₁點滿足

A1D1

D1C1

=1時，由平行四邊形ADC₁D₁可得DC₁∥AD₁，∵DC₁?平面AB₁D₁，AD₁?平面AB₁D₁，∴DC₁∥平面AB₁D₁．
同理DB∥平面AB₁D₁，又∵DB∩DC₁=D，∴平面BDC₁∥平面AB₁D₁．可得BC₁∥平面AB₁D₁，滿足已知條件．
②假設點D₁不是線段A₁C₁的中點而滿足已知條件BC₁∥平面AB₁D₁，則可取線段A₁C₁的中點E，由（1）可知：平面BC₁D∥平面AB₁E，
∴平面AB₁D₁∥平面AB₁E，這與平面AB₁D₁∩平面AB₁E相矛盾，因此假設不成立，故點D₁是線段A₁C₁的中點．
故選B．

點評：熟練掌握線面、面面平行的判定定理和性質定理、反證法是解題的關鍵．