Question

已知函數f（x）=ax-

ln(1+x)

1+x

在x=0處取得極值．
（I）求實數a的值，并判斷，f（x）在[0，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）若數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），求證：0＜a_n+1＜a_n≤l；
（Ⅲ）在（II）的條件．下，記s_n=

a1

1+a1

+

a1．a2

(1+a1)(1+a2)

+…+

a1．a2…an

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

，求證：s_n＜1．

Answer 1

（I）函數的導數為f′(x)=a-

1-ln?(1+x)

(1+x)2

，因為函數在x=0處取得極值，所以f'（0）=0，解得a=1．
即f′(x)=1-

1-ln?(1+x)

(1+x)2

=

(1+x)2-1+ln?(1+x)

(1+x)2

=

x2+x+ln?(1+x)

(1+x)2

．
因為x≥0，所以ln（1+x）≥0，x²+x≥0，所以此時f'（x）≥0，即函數在[0，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）  由（I）知f(x)=x-

ln?(1+x)

1+x

，所以an+1=f(an)=an-

ln?(1+an)

1+an

，下面用數學歸納法證明a_n＞0．
①當n=1時，a_n=1＞0，成立．
②假設當n=k，（n∈N•）時a_k＞0．因為函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，所以f（a_k）＞f（0）=0，所以a_n+1=f（a_n）＞0成立．
綜上a_n＞0．又a_n-a_n+1=

ln?(1+an)

an

，因為a_n＞0，所以an-an+1=

ln?(1+an)

1+an

＞0，即a_n＞a_n+1．
而a₁=1，所以0＜a_n+1＜a_n≤l成立．
所以由①②可知0＜a_n+1＜a_n≤l成立．
（Ⅲ）由（II）知，0＜a_n+1＜a_n≤l，所以

1

an

＜

1

an+1

，1+

1

an

＜1+

1

an+1

，即

1+an

an

＜

1+an+1

an+1

，所以

an

1+an

＞

an+1

1+an+1

＞0．
所以

a1?a2???an

(1+a1)(1+a2)???(1+an)

=

a1

1+a1

?

a2

1+a2

???

an

1+an

＜

a1

1+a1

?

a1

1+a1

???

a1

1+a1

=(

a1

1+a1

)n．
所以s_n=

a1

1+a1

+

a1．a2

(1+a1)(1+a2)

+…+

a1．a2…an

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

＜(

a1

1+a1

)+(

a1

1+a1

)2+…+(

a1

1+a1

)n=

a1 1+a1 [1-( a1 1+a1 )n]

1- a1 1+a1

＜

a1 1+a1

1- a1 1+a1

=a1=1
所以s_n＜1．