Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a≥1，b≥1）的離心率為2，則

b2+1

3 a

的最小值為（　　）

• A．

  4 3

  3

• B．

  3+ 3

  3

• C．2
• D．

  1+ 3

  2

Answer 1

分析：根據雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a≥1，b≥1）的離心率為2，可得a，b的關系，代入

b2+1

3 a

化簡，利用單調性，即可求得

b2+1

3 a

的最小值．

解答：解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a≥1，b≥1）的離心率為2，
∴

c

a

=2
∴

a2+b2

a2

=4
∴b²=3a²
∴

b2+1

3 a

=

3a2+1

3 a

=

1

3

(3a+

1

a

)
∵a≥1
∴

1

3

(3a+

1

a

)在[1，+∞）上單調增
∴

1

3

(3a+

1

a

)≥

4 3

3

故選A．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查函數的單調性，正確運用雙曲線的幾何性質是關鍵．