Question

函數f（x）=ax²+2x+1，若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，則實數a的取值范圍是

a≥0

．

Answer 1

分析：要使函數f（x）=ax²+2x+1對任意x∈[1，+∞），都有f（x）＞0恒成立，a有可能等于0或大于0，然后分這兩種情況討論，a=0時為一次函數，顯然成立；a＞0時，又分判別式小于0和大于等于0兩種情況，特別是判別式大于0時，需借助于二次函數的對稱軸及f（1）的符號列式求解．

解答：解：當a=0時，函數f（x）=ax²+2x+1化為f（x）=2x+1，滿足對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立；
當a≠0時，要使對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
則

a＞0 △=22-4a＜0

①
或

a＞0 △=22-4a≥0 - 1 a ≤1 f(1)＞0

，即

a＞0 4-4a≥0 - 1 a ≤1 a+3＞0

②
解①得，a＞1．
解②得，0＜a≤1．
綜上，對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立的實數a的取值范圍是a≥0．
故答案為a≥0．

點評：本題考查了二次函數的性質，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了利用“三個二次”的結合求解參數問題，是中檔題．