Question

如圖，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α與γ之間．點(diǎn)A、D∈α，C、F∈γ，
AC∩β=B，DF∩β=E．
（1）求證：=；
（2）設(shè)AF交β于M，AC≠DF，α與β間距離為h′，α與γ間距離為h，當(dāng)的值是多少時(shí)，△BEM的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明線段對(duì)應(yīng)成比例，我們可以證明①它們所在的三角形相似，也可以②利用平行線分線段成比例定理，也可以③證明它們都與同一個(gè)比例式相等，觀察AB，BC，DE，EF的關(guān)系，直接證明有難度，因此可以選擇第三種思路．
（2）求△BEM面積的最大值，要先將△BEM面積表示出來(lái)，再結(jié)函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式進(jìn)行求解．
解答：（1）證明：連接BM、EM、BE．
∵β∥γ，平面ACF分別交β、γ于BM、CF，
∴BM∥CF．∴=．
同理，=．
∴=．

（2）解：由（1）知BM∥CF，
∴==．
同理，=．
∴S_△BEM=CF•AD（1-）sin∠BME．
據(jù)題意知，AD與CF是異面直線，只是β在α與γ間變化位置．
故CF、AD是常量，
sin∠BME是AD與CF所成角的正弦值，也是常量，
令h′：h=x．顯然當(dāng)x=，即=時(shí)，y=-x²+x有最大值．
∴當(dāng)=，即β在α、γ兩平面的中間時(shí)，S_△BEM最大．
點(diǎn)評(píng)：要證明線段對(duì)應(yīng)成比例，我們可以證明①它們所在的三角形相似，也可以②利用平行線分線段成比例定理，也可以③證明它們都與同一個(gè)比例式相等．如果已知的線段與圓的切、割有關(guān)，也可利用與圓相關(guān)的線段比例，如切線長(zhǎng)定理、相交弦定理、切割線定理等列出線段的關(guān)系式．