Question

設f（x）在區間（-∞，+∞）可導，其導數為f′（x），給出下列四組條件p是q的充分條件的是（　　）
①p：f（x）是奇函數，q：f′（x）是偶函數
②p：f（x）是以T為周期的函數，q：f′（x）是以T為周期的函數
③p：f（x）在區間（-∞，+∞）上為增函數，q：f′（x）＞0在（-∞，+∞）恒成立
④p：f（x）在x₀處取得極值，q：f′（x₀）=0．

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：根據函數導數的定義和導數與原函數性質之間的聯系，對各選項逐個加以判斷，可得：①、②當中p是q的充要條件，必定是充分條件，故正確；④是充分不必要條件，也正確，而③是必要不充分條件，故③不正確．

解答：解：對于①，若函數f（x）是奇函數，滿足f（-x）=-f（x），
則f'（-x）=f'（x）•（-x）'=f'（x），函數f'（x）為偶函數，故p是q的充分條件，故①正確；
對于②，根據函數周期性的定義，可得“f（x）是以T為周期的函數”與“f′（x）是以T為周期的函數”等價，
故p是q的充要條件，必定是充分條件，故②正確；
對于③，f（x）在區間（-∞，+∞）上為增函數，可得f′（x）≥0在（-∞，+∞）恒成立
反之，f′（x）＞0在（-∞，+∞）恒成立，必定f（x）在區間（-∞，+∞）上為增函數
故p是q的必要非充分條件，故③不正確；
對于④，根據可導函數極值的定義，可得由“f（x）在x₀處取得極值”能推出“f′（x₀）=0”，反之不一定成立
故p是q的充分條件，故④正確．
因此，能使p是q的充分條件的是①②④
故選B

點評：本題以充分必要條件的判斷為載體，考查了函數的導數定義和導數與原函數性質間的聯系等知識，屬于基礎題．