Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P為A₁C₁的中點，AB=BC=kPA．
（I）當k=1時，求證PA⊥B₁C；
（II）當k為何值時，直線PA與平面BB₁C₁C所成的角的正弦值為，并求此時二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）以點B為坐標原點，分別以直線BA、BC、BB₁為x軸、y軸建立空間直角坐標系Oxyz，設AB=2，欲證PA⊥B₁C，只需它們對應的坐標，計算它們的數量積，使數量積為零即可；
（II）先求出平面B₁C的一個法向量，先求直線PA與法向量的夾角的余弦值然后得到直線與平面所成角的正弦值，可求出k的值，最后求出平面BPC的一個法向量，根據兩法向量的夾角的余弦值求出二面角A-PC-B的余弦值．
解答：解：以點B為坐標原點，分別以直線BA、BC、BB₁為x軸、y軸建立空間直角坐標系Oxyz．
（I）設AB=2，則AB=BC=PA=2
根據題意得：
所以．
∵，∴PA⊥B₁C．
（II）設AB=2，則，
根據題意：A（2，0，0），C（0，2，0），
又因為，
所以，
∴，
∴，
∵AB⊥平面B₁C，
所以由題意得，
即，即，
∵k＞0，解得k=．
即時，直線PA與平面BB₁C₁C所成的角的正弦值為．（8分）
∵B₁P⊥面APC，∴平面APC的法向量．
設平面BPC的一個法向量為，
∵
由，得，
∴
所以此時二面角A-PC-B的余弦值是．（12分）
點評：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系，以及利用向量法度量二面角的大小，屬于基礎題．