Question

已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點Q（-

2

，1）在橢圓上，線段QF₂與y軸的交點M滿足

QM

+

F2M

=0；
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P為橢圓C上一點，且∠F₁PF₂=

π

3

，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）由點Q（-

2

，1）在橢圓上，可得

2

a2

+

1

b2

=1．因為線段QF₂與y軸的交點M滿足

QM

+

F2M

=

0

，所以M為線段QF₂的中點，
可得-

2

+c=0，聯立

- 2 +c=0 a2=b2+c2 2 a2 + 1 b2 =1

，即可解出．
（2）設|PF₁|=m，|PF₂|=n．
利用橢圓的定義和余弦定理可得

m+n=4 m2+n2-2mncos π 3 =(2 2 )2

，即可解得mn．再利用S△=

1

2

mnsin

π

3

即可．

解答：解：（1）∵點Q（-

2

，1）在橢圓上，∴

2

a2

+

1

b2

=1．
∵線段QF₂與y軸的交點M滿足

QM

+

F2M

=

0

，
∴M為線段QF₂的中點，
∴-

2

+c=0，
 聯立

- 2 +c=0 a2=b2+c2 2 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=4 b2=c2=2

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）設|PF₁|=m，|PF₂|=n．
利用橢圓的定義和余弦定理可得

m+n=4 m2+n2-2mncos π 3 =(2 2 )2

，
解得mn=

8

3

．
∴S△=

1

2

mnsin

π

3

=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2

3

3

．

點評：熟練掌握橢圓的定義及其性質、中點坐標公式、余弦定理、三角形的面積計算公式是解題的關鍵．