Question

（2011•浦東新區(qū)模擬）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，an+an+1=(

1

4

)n（n∈N^*），設(shè)Sn=a1+4a2+42a3+…+4n-1an，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得5Sn-4nan=

n

．

Answer 1

分析：先對(duì)S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 兩邊同乘以4，再相加，求出其和的表達(dá)式，整理即可求出5S_n-4ⁿa_n的表達(dá)式．

解答：解：由S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 ①
得4•s_n=4•a₁+a₂•4²+a₃•4³+…+a_n-1•4^n-1+a_n•4ⁿ ②
①+②得：5s_n=a₁+4（a₁+a₂）+4²•（a₂+a₃）+…+4^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•4ⁿ
=a₁+4×

1

4

+4²•（

1

4

）2+…+4 ^n-1•（

1

4

）^n-1+4ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+4ⁿ•a_n
=n+4ⁿ•a_n．
所以5s_n-4ⁿ•a_n=n．
故答案為n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的求和，用到了類比法，是一道比較新穎的好題目，關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法的理解和掌握．