Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ．（n≥2且n∈N*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}的前n項之和S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可知，

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，結合等差數列的通項公式可求

an

2n

，進而可求a_n
（2）由題意可得，Sn=

1

2

•21+

3

2

•22+

5

2

•23+…+(n-

1

2

)•2n，利用錯位相減法可求和

解答：解：（1）∵an=2an-1+2n(n≥2，且n∈N*），
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1（n≥2，且n∈N*），
所以，數列{

an

2n

}是等差數列，公差d=1，首項

1

2

，
于是

an

2n

=

1

2

+(n-1)d=

1

2

+(n-1)•1=n-

1

2

，
∴an=(n-

1

2

)•2n．
（2）∵Sn=

1

2

•21+

3

2

•22+

5

2

•23+…+(n-

1

2

)•2n①
∴2Sn=

1

2

•22+

3

2

•23+

5

2

•24+…+(n-

1

2

)•2n+1②
-Sn=1+22+23+…+2n-(n-

1

2

)•2n+1
=2+22+23+…+2n-(n-

1

2

)•2n+1-1
=2n+1-2-(n-

1

2

)•2n+1-1
=（3-2n）•2ⁿ-3
∴Sn=(2n-3)•2n+3

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求解數列的通項公式，數列的錯位相減求解數列的和方法的應用，屬于數列知識的綜合應用．