Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足為線段的中點，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過、、三點的圓與直線相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、兩點，在軸上是否存在點使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且實數的取值范圍是.

【解析】

（1）設橢圓的焦距為，根據為線段的中點，求出點的坐標，然后由，可得出、、的等量關系，由此可計算出橢圓的離心率；

（2）由（1）可知點，圓的半徑為，利用點到直線的距離為求出的值，進而可得出與的值，由此可得出橢圓的標準方程；

（3）由（2）可知，設點、，設直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，根據菱形的對角線相互垂直的性質可得，代入化簡即可得出實數的取值范圍.

（1）設橢圓的焦距為，則、，

為線段的中點，則點，且點的坐標為，

，，，，

即，可得，因此，橢圓的離心率為；

（2），的外接圓圓心為點，半徑為，

由于直線與該圓相切，則，解得，則，，

因此，橢圓的標準方程為；

（3）由（2）可知，設點、，直線的方程為，

當時，直線與軸重合，此時，、、三點共線，不合乎題意，則，

聯立，消去，化簡得，

由韋達定理得，，

，，

，

根據菱形對角線相互垂直的性質可得，

，即，

即，整理得.

綜上所述，在軸上存在點使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形，且實數的取值范圍是.