Question

我們定義雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的漸近線與直線y=±b的交點為“虛近點”，如圖點P是雙曲線C在第一象限的漸近點，直線y=b與雙曲線C的左、右分支分別交于點A、B，F₁、F₂分別是雙曲線C的左、右焦點，O為坐標原點．
（1）求證：PF₁⊥PF₂；
（2）求證：PF₁平分∠APO；
（3）你能否在未證明（1）下，直接證明（2）？請寫下你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，分析“虛近點”的定義，聯立由得P的坐標，由向量數量積的公式，計算，可得其結果為0，即可證PF₁⊥PF₂；
（2）由（1）知△F₁PF₂為直角三角形，且O為斜邊F₁F₂的中點，由直角三角形的性質，可得∠OF₁P=∠OPF₁，進而可得∠OF₁P=∠APF₁，即可證PF₁平分∠APO；
（3）由（1）可得P的坐標，可得|OP|=C，又由|OF₁|=c，可得∠OF₁P=∠OPF₁，進而根據AB∥F₁F₂，得∠OF₁P=∠APF₁，即可得∠OPF₁=∠APF₁，即可證PF₁平分∠APO．
解答：證明：（1）雙曲線C在第一、三象限的漸近線方程為y=x，
由得P（a，b），
∴=（-c-a，-b）•（c-a，-b）=a²-c²+b²=0，
得PF₁⊥PF₂；
（2）由（1）知△F₁PF₂為直角三角形，且O為斜邊F₁F₂的中點，
∴OP=OF₁，有∠OF₁P=∠OPF₁，
又∵AB∥F₁F₂，得∠OF₁P=∠APF₁，
∴∠OPF₁=∠APF₁，
∴PF₁平分∠APO，同理得證PF₂平分∠BPO；
（3）能直接證明，證明如下：
同（1）的方法，可求得P（a，b），
∴|OP|==c，
又∵|OF₁|=c，∴∠OF₁P=∠OPF₁，
又∵AB∥F₁F₂，得∠OF₁P=∠APF₁，∴∠OPF₁=∠APF₁，
∴PF₁平分∠APO．
點評：本題考查雙曲線的性質與應用，解題時，注意分析題意，把握好“虛近點”的定義，結合雙曲線的定義與性質，從而解題．