Question

如圖，已知曲線C₁：y=x³（x≥0）與曲線C₂：y=-2x³+3x（x≥0）交于O，A，直線x=t（0＜t＜1）與曲線C₁，C₂分別交于B，D．
（Ⅰ）寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數關系式S=f（t）；
（Ⅱ）討論f（t）的單調性，并求f（t）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出兩曲線的交點O、A坐標，由直線x=t（0＜t＜1）與曲線C₁，C₂分別交于B，D表示出BD的長，利用四邊形ABOD的面積等于三角形ABO的面積+三角形OBD的面積；即可表示函數f（t）的關系式；
（Ⅱ）令f'（t）=0解得t，分區間討論f（t）的增減性得到哦f（t）的最大值及此時t的值即可．
解答：解：（Ⅰ）由得交點O、A的坐標分別是（0，0），（1，1）.，
即．
（Ⅱ）．令f'（t）=0解得．
當，從而f（t）在區間上是增函數；
當，從而f（t）在區間上是減函數．
所以當時，f（t）有最大值為．
點評：考查學生根據實際問題選擇函數關系的能力，以及利用導數研究函數增減性，利用導數求閉區間上函數最值的能力．