Question

【題目】已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）若不等式在時有解，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，是否存在正數(shù)，使得對于區(qū)間上的任意三個實數(shù)，，，都存在以，，為邊長的三角形？若存在，試求出這樣的的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），偶函數(shù)； ，非奇非偶函數(shù)；（2）；（3）.

【解析】

（1）先由題意得到函數(shù)的定義域，再由函數(shù)奇偶性的定義，分別討論與，即可判斷出結(jié)果；

（2）先由題意，將問題轉(zhuǎn)化為在上能成立；求出的最大值，即可得出結(jié)果；

（3）先假設(shè)存在正數(shù)滿足題意；設(shè)，求出，將對于區(qū)間上的任意三個實數(shù)，，，都存在以，，為邊長的三角形，轉(zhuǎn)化為，任取，作差得到，分別討論，，，四種情況，得出函數(shù)單調(diào)性，求出最值，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.

（1）由題意可得：的定義域為，

又，

當(dāng)，即時，，所以是偶函數(shù)；

當(dāng)，即時，是非奇非偶函數(shù)；

（2）由不等式可得：，即，

所以不等式在時有解，

等價于在上能成立；

又在上單調(diào)遞增，所以

因此，只需，解得；

即實數(shù)的取值范圍是；

（3）假設(shè)存在正數(shù)滿足題意；

設(shè)，則在上單調(diào)遞減，

所以，則；

所以對于區(qū)間上的任意三個實數(shù)，，，都存在以，，為邊長的三角形，等價于，

任取，所以，

則，

①當(dāng)時，，所以，

即在上單調(diào)遞增，

所以，，

由得，解得：，所以；

②當(dāng)時，易得：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，

，

由得：，解得：；

所以；

③當(dāng)時，易得：在在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，

，

由得：，解得：，

所以；

④當(dāng)時，，所以，

即在上單調(diào)遞減，

所以，，

由得，解得，所以；

綜上，，又為正數(shù)，所以.

即存在滿足題意.