Question

已知在二項(xiàng)式（x³-

1

x2

）ⁿ的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第四項(xiàng)為

-120x¹⁵

．（系數(shù)用數(shù)字作答）

Answer 1

分析：先利用展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大求出n=10，再求出其通項(xiàng)公式，令r=3，再代入通項(xiàng)公式即可求出結(jié)論．

解答：解：因?yàn)椋▁³-

1

x2

）ⁿ的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
所以n=10．
所以其通項(xiàng)為

C

r 10

•(x3)10-r•(-

1

x2

)r=（-1）^r

C

r 10

x^30-5r．
令r=3，得第四項(xiàng)為：（-1）³•

C

3 10

x^30-3×5=-120x¹⁵．
故答案為：-120x¹⁵

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理中的常用結(jié)論：如果n為奇數(shù)，那么是正中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n為偶數(shù)，那么是正中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．