Question

設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數列{a_n}的集合：

①      ②M是與n無關的常數.

（1）若{a_n}是等差數列，S_n是其前n項的和，a₃=4，S₃=18，證明：{S_n}∈W

（2）設數列{b_n}的通項為，求M的取值范圍；

（3）設數列{c_n}的各項均為正整數，且

Answer 1

解：（1）設等差數列{a_n}的公差是d，則a₁+2d=4，3a₁+3d=18，

解得a₁=8，d=－2，

所以

由

=－1＜0

得適合條件①；又

所以當n=4或5時，S_n取得最大值20，即S_n≤20，適合條件②

綜上，{S_n}∈W

（2）解：因為

所以當n≥3時，，此時數列{b_n}單調遞減；

當n=1，2時，，即b₁＜b₂＜b₃，

因此數列{b_n}中的最大項是b₃=7 

所以M≥7

（3）解：假設存在正整數k，使得成立

由數列{c_n}的各項均為正整數，可得

因為

由

因為

依次類推，可得

設

這顯然與數列{c_n}的各項均為正整數矛盾！

所以假設不成立，即對于任意n∈N^*,都有成立