Question

若函數f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲線過原點，且在x=±1處的切線的斜率為-1，有以下命題：
（1）f（x）的解析式為：f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]
（2）f（x）的極值點有且僅有一個
（3）f（x）的最大值與最小值之和等于零
其中假命題個數為（ ）
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個

Answer 1

【答案】分析：首先利用導數的幾何意義及函數f（x）過原點，列方程組求出f（x）的解析式；然后根據奇函數的定義判斷函數f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，則命題（1），（3）得出判斷；最后令f′（x）=0，求出f（x）的極值點，進而求得f（x）的單調區間與最值，則命題（2）得出判斷．
解答：解：函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象過原點，可得c=0；
又f′（x）=3x²+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為-1，
則有 ，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
（1）可見f（x）=x³-4x，因此（1）正確；
（2）令f′（x）=0，得x=±．因此（2）不正確；
所以f（x）在[-，]內遞減，
（3）f（x）的極大值為f（-）=，極小值為f（ ）=-，兩端點處f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值為M=，最小值為m=-，則M+m=0，因此（3）正確．
故選B．
點評：本題主要考查導數的幾何意義及利用導數研究函數單調性、最值的方法．