Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁、F₂在坐標軸上，離心率為，且過點(4,).

(1)求此雙曲線的方程；

(2)若點M(3,m)在此雙曲線上，求證：

Answer 1

思路點撥：由題意先判定所求的方程形式是雙曲線的標準方程形式，再由離心率為，從而確定a、b間的關系，從而將相應方程設出，進而由曲線過已知點，從而求得方程.

解：(1)∵離心率e==，∴a=b，設雙曲線方程為x²-y²=n，∵(4,)在雙曲線上，∴n=4²-()²=6.∴雙曲線方程為x²-y²=6.

(2)∵M(3,m)在雙曲線上，則3²-m²=6，m=±，即點M(3,±)，×=，

∴.

［一通百通］ 涉及求有關圓錐曲線的方程問題，求解過程中通常應當注意判斷相應曲線的方程形式，否則容易出錯.有關證明向量或直線垂直問題，通常可以考慮證明對應直線的斜率之積是-1或對應向量之積為零.