Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面ABCD，，，．

Ⅰ求證：平面PAC；

Ⅱ若側棱PC上的點F滿足，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】

試題（1）由于可以證明要證明只需證明從而中的兩條相交直線，（2）由（1）知為等腰三角形，面積容易求出，考慮以BCD為底面．F為頂點 的三棱錐，以及以BCD為底面，P為頂點的三棱錐面積容易求出，所以

試題解析：（1）證明：因為BC=CD,所以△BCD為等腰三角形,

又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC． 因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD．

從而BD與平面PAC內兩條相交直線PA,AC都垂直, 所以BD⊥平面PAC．

（2）解：三棱錐PBCD的底面BCD的面積S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin=．

由PA⊥底面ABCD,得=·S△BCD·PA=××2=2．

由PF=7FC,得三棱錐FBCD的高為PA,

故=·S△BCD·PA=×××2=,

所以=-=2-=．