Question

函數f（x）=sinx•cos²x在[0，

π

2

]上的最大值與最小值之和為

 

．

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）=sinx•cos²x，我們可以求出函數的導函數，進而分析出函數f（x）=sinx•cos²x在[0，

π

2

]上的單調性，進而求出函數f（x）=sinx•cos²x在[0，

π

2

]上的最大值與最小值，進而得到答案．

解答：解：函數f（x）=sinx•cos²x=sinx•（1-sin²x）=sinx•-sin³x
∵f′（x）=cosx（1-3sin²x）
令f′（x）=0，則x=arcsin

3

3

，或x=

π

2

∵當x∈[0，arcsin

3

3

]時，f′（x）≥0，當x∈[arcsin

3

3

，

π

2

]時，f′（x）≤0，
又∵f（0）=f（

π

2

）=0，
故函數f（x）=sinx•cos²x在[0，

π

2

]上的最大值為f（arcsin

3

3

）=

2 3

9

，最小值為0，
故函數f（x）=sinx•cos²x在[0，

π

2

]上的最大值與最小值之和

2 3

9

故答案為：

2 3

9

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，其中利用導數法，判斷出函數的單調性，求出函數的最值，是解答本題的關鍵．