Question

已知函數f（x）=b•a^x（其中a，b為常數，a＞0且a≠1）的圖象經過點（1，6），（3，24）．
（1）確定f（x）的解析式；
（2）若不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

分析：（1）把點A（1，6），B（3，24）代入函數的解析式求出a、b的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）由（1）知(

1

2

)x+(

1

3

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，設g（x）=(

1

2

)x+(

1

3

)x，利用g（x）在（-∞，1]上是減函數，能求出實數m的最大值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=b•a^x（其中a，b為常數，a＞0且a≠1）的圖象經過點（1，6），（3，24），
∴

b•a=6 b•a3=24

，解得a=2，b=3，
∴f（x）=3•2^x．
（2）∵a=2，b=3，不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，
∴(

1

2

)x+(

1

3

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，
設g（x）=(

1

2

)x+(

1

3

)x，
則g（x）在（-∞，1]上是減函數，
∴在（-∞，1]上，g（x）_min=g（1）=

1

2

+

1

3

=

5

6

．
∴mmax=

5

6

，
故實數m的最大值是

5

6

．

點評：本題考查函數解析式的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．