Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠DAB=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)，F(xiàn)D⊥面ABCD且FD=1．
（1）證明：PA=PD；
（2）證明：AD⊥PB；
（3）求AP與面DEF所成角的正弦值；
（4）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）又D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)已知求出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量

PA

，

PB

的坐標(biāo)，代入向量模的公式，求出兩向量的模，可證得PA=PD；
（2）求出線段AD與PB的方向向量，代入向量的數(shù)量積公式，根據(jù)向量的數(shù)量積為0，兩向量垂直可得AD⊥PB；
（3）設(shè)AP與面DEF所成的角為θ，求出線段AP的方向向量和平面DEF的法向量，代入向量夾角公式，可得AP與面DEF所成角的正弦值；
（4）分別求出平面PAD與平面BAD的法向量，代入向量夾角公式，根據(jù)二面角為鈍二面角，可得二面角P-AD-B的余弦值

解答：解：∵ABCD是菱形且∠DAB=60°，E為BC中點(diǎn)，
∴AD⊥DE且DE=

3

，
又∵DF⊥面ABCD，
∴DA，DE，DF兩兩垂直，
以D為原點(diǎn)建立如圖直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（2，0，0），B(1，

3

，0)，C(-1，

3

，0)，F(xiàn)（0，0，1）；
∵F為PC中點(diǎn)，∴P(1，-

3

，2)
（1）∴PA=

(1-2)2+(- 3 )2+22

=2

2

，PD=

12+(- 3 )2+22

=2

2

，即PA=PD
（2）

DA

=(2，0，0)，

BP

=(0，-2

3

，2)∴

DA

•

BP

=0，即AD⊥BP
（3）設(shè)AP與面DEF所成的角為θ，
∵DA⊥面DEF，
∴面DEF的法向量

n

=(2，0，0)，又

AP

=(-1，-

3

，2)，
∴sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|=|

-2

2•2 2

|=

2

4

∴AP與面DEF所成角的正弦值為

2

4

；
（4）∵DF⊥面ABCD，∴面ABCD的法向量

n1

=(0，0，1)，
設(shè)PAD面的法向量

n2

=(x，y，z)，
則

DA • n2 =0 AP • n2 =

，
即

2x=0 -x- 3 y+2z=0

，
取y=2，z=

3

∴

n2

=(0，2，

3

)，cos＜

n1

，

n2

＞=

3

1• 7

=

21

7

∵二面角P-AD-B為鈍角，
∴二面角P-AD-B的余弦值為-

21

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成的角，建立空間坐標(biāo)系，將空間幾何中的長(zhǎng)度，垂直，夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的模，及向量的夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．