Question

已知函數f（x）對任意實數x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，當0≤x＜1時，0≤f（x）＜1．
（1）求f（0）及f（3）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在[0，+∞）上的單調性，并給出證明；
（4）若a≥0且f（a+1）≤

3

9

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，可求得f（0）=0，利用f（xy）=f（x）•f（y），f（27）=9，可求得f（3）；
（2）令y=-1，可求得f（-x）=f（x），從而可判斷f（x）的奇偶性；
（3）易證當x＞0時，f（x）＞0，設0≤x₁＜x₂，可證得0≤f（

x1

x2

）=

f(x1)

f(x2)

＜1，從而可證函數f（x）在[0，+∞）上是增函數；
（4）利用函數在[0，+∞）上是增函數，可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）•f（0），
∴f（0）=0或f（0）=1，
又當0≤x＜1時，0≤f（x）＜1，
∴f（0）=0；
∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]³，
∴9=[f（3）]³，
∴f（3）=

3	9

；
（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，
∴f（-x）=f（x），且x∈R，
∴f（x）為偶函數．
（3）若x≥0，則f（x）=f（

x

•

x

）=f（

x

）•f（

x

）=[f(

x

)]²≥0．
若存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
則f（27）=f（x₀•

27

x0

）=f（x₀）•f（

27

x0

）=0，與f（27）=9矛盾，
∴當x＞0時，f（x）＞0．
設0≤x₁＜x₂，則0≤

x1

x2

＜1，
∴f（x₁）=f（

x1

x2

•x₂）=f（

x1

x2

）•f（x₂），
∴f（

x1

x2

）=

f(x1)

f(x2)

．
∵當x≥0時f（x）≥0，且當0≤x＜1時，0≤f（x）＜1．
∴0≤f（

x1

x2

）=

f(x1)

f(x2)

＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂），故函數f（x）在[0，+∞）上是增函數．
（4）∵f（a+1）≤

3	9

，
∴f（a+1）≤f（3），
∵a≥0，
∴a+1∈[0，+∞），3∈[0，+∞），又函數在[0，+∞）上是增函數，
∴a+1≤3，即a≤2，
又a≥0，故0≤a≤2．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的單調性與奇偶性的綜合應用，考查恒成立問題與推理證明能力，屬于難題．