Question

已知數列{ a_n}、{ b_n}滿足：．
（1）求a₂，a₃，；
（2）證數列{}為等差數列，并求數列{a_n}和{ b_n}的通項公式；
（3）設S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求實數λ為何值時4λS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

（1）解：∵，∴，，
，，．
∴；
（2）證明：由，
∴=，
∴，即a_n-a_n+1=a_na_n+1，
∴
∴數列{}是以4為首項，1為公差的等差數列．
∴，則，
∴；
（3）解：由，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=
=
=．
∴，
要使4λS_n＜b_n恒成立，只需（λ-1）n²+（3λ-6）n-8＜0恒成立，
設f（n）=（λ-1）n²+3（λ-2）n-8
當λ=1時，f（n）=-3n-8＜0恒成立，
當λ＞1時，由二次函數的性質知f（n）不滿足對于任意n∈N^*恒成立，
當λ＜l時，對稱軸n=
f（n）在[1，+∞）為單調遞減函數．
只需f（1）=（λ-1）n²+（3λ-6）n-8=（λ-1）+（3λ-6）-8=4λ-15＜0
∴，∴λ≤1時4λS_n＜b_n恒成立．
綜上知：λ≤1時，4λS_n＜b_n恒成立．
分析：（1）由給出的，循環代入a_n+b_n=1和可求解a₂，a₃；
（2）由a_n+b_n=1得a_n+1+b_n+1=1，結合，去掉b_n與b_n+1得到a_n+1與a_n的關系式，整理變形后可證得數列{}是以4為首項，1為公差的等差數列，求出其通項公式后即可求得數列{a_n}和{ b_n}的通項公式；
（3）首先利用裂項求和求出S_n，代入4λS_n＜b_n，通過對λ分類討論，結合二次函數的最值求使4λS_n＜b_n恒成立的實數λ的值．
點評：本題考查了等差、等比數列的通項公式，考查了數列的裂項求和，考查了數列的函數特性，訓練了恒成立問題的求解方法，解答過程中注意分類討論的數學思想，屬中檔題．