Question

（2009•荊州模擬）工廠的設備使有一段時間后，需要更新．但若更新過早，老設備的生產潛力未得以完全發揮就拋棄，易造成損失；若更新過晚，老設備生產效率低下，維修費用昂貴，也會造成損失，現有一臺階值8000元的設備，第一年的維修、燃料及動力消耗費用為320元，以后每一年比上一年增加320元，假定這臺設備報廢后余值為0，要使工廠為這臺設備支付的平均費用最小，這臺設備應在使用多少年后更新？

Answer 1

分析：設這臺設備使用x年后要更新，這這x年的平均費用為

8000+ 320x(x+1) 2

x

=

8000

x

+160x+160，利用基本不等式求得它的最小值，以及此時x的值．

解答：解：設這臺設備使用x年后要更新，這這x年的總費用為8000+320（1+2+3+…+x）=8000+

320x(x+1)

2

，
平均費用為

8000+ 320x(x+1) 2

x

=

8000

x

+160x+160≥2

8000 x •160x

+160=160

2

+160，
當且僅當

8000

x

=160x，即 x=

50

≈7 時，取等號．
故使用7年更新，每年的平均費用最低．

點評：本題主要考查基本不等式在最值問題中的應用，屬于中檔題．