Question

（08年平遙中學(xué)）（12分）  圖（1）是一個(gè)正方形的表面展開(kāi)圖，MN和PQ是兩條面對(duì)角線。請(qǐng)?jiān)趫D（2）的正方體中將MN、PQ畫(huà)出來(lái)，并就這個(gè)正方體解答下列各題。

（1）求MN與PQ所成角的大小；

（2）求四面體M―NPQ的體積與正方體的體積之比；

（3）求二面角M―NQ―P的大小。

 

Answer 1

解析：（1）連結(jié)MC、NC，可得PQ//NC，

則就是異面直線MN與PQ所成的角………2分

∵ 是等邊三角形   ∴

則MN與PQ所成的角等于………4分

（2）不失一般性，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（立方單位）………5分

∵ （立方單位）………7分

∴ ………8分

(也可以設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a)

（3）∵ PN⊥平面AQMP    ∴ 平面MPQ⊥平面NPQ

作MO⊥PQ于O，ME⊥NQ于E，連結(jié)OE，并設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則MO⊥平面NPQ

∵ OE是ME在平面NPQ內(nèi)的射影

∴ OE⊥NQ

則是二面角M―NQ―P的平面角………10分

由～，得   ∴

∵   MO⊥OE   ∴

∴

則二面角M―NQ―P的大小為………12分