Question

設曲線C的方程是y=x³-x,將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長度后,得到曲線C₁.

(1)寫出曲線C₁的方程;

(2)證明曲線C與C₁關于點A(,)對稱.

Answer 1

(1)解：C₁:y-s=(s-t)³-(x-t).                             ①

(2)剖析：要證明曲線C₁與C關于點A(,)對稱,只需證明曲線C₁上任意一個點關于A點的對稱點都在曲線C上,反過來,曲線C上任意一個點關于A點的對稱點都在曲線C₁上即可.

證明：設P₁(x₁,y₁)為曲線C₁上任意一點,它關于點A(,)的對稱點為P(t-x₁,s-y₁),把P點坐標代入曲線C的方程,左=s-y₁,右=(t-x₁)³-(t-x₁).

    由于P₁在曲線C₁上,∴y₁-s=(x₁-t)³-(x₁-t).

    ∴s-y₁=(t-x₁)³-(t-x₁),即點P(t-x₁,s-y₁)在曲線C上.

    同理可證曲線C上任意一點關于點A的對稱點都在曲線C₁上.

    從而證得曲線C與C₁關于點A(,)對稱.