Question

（2006•海淀區二模）如圖：三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°，PB=AB=AC=4，點E是PA的中點．
（1）求證：AC⊥平面PAB；
（2）求異面直線BE與AC的距離；
（3）求直線PA與平面PBC所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）由PB⊥底面ABC，∠BAC=90°，可得PB⊥AC，BA⊥AC，再利用直線和平面垂直的判定定理可得AC⊥平面PAB．
（2）由條件可得EA是異面直線BE、AC的公垂線段，再根據EA是△PBA為直角三角形的斜邊PA上的中線，求得EA=

1

2

PA的值，即為所求．
（3）取BC中點D，求得AD=2

2

．證得PD為PA在平面PBC內的射影，∠APD為PA與平面PBC所成角．在Rt△ADP中，由sinAPD=

AD

AP

=

1

2

，可得∠APD的值．

解答：解：（1）∵三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°，∴PB⊥AC，BA⊥AC．…（4分）
∵PB∩BA=B，∴AC⊥平面PAB．…（4分）
（2）∵PB=BA=4，點E是PA的中點，∴BE⊥EA．…（5分） 
又∵EA?平面PAB，由（1）知AC⊥EA，…（6分）
∴EA是異面直線BE、AC的公垂線段，…（7分）
∵PB⊥AB，∴△PBA為直角三角形．…（8分）
∴EA=

1

2

PA=

1

2

×4

2

=2

2

，∴異面直線BE與AC的距離為2

2

．…（9分）
（3）取BC中點D，連結AD、PD，∵AB=AC=4，∠BAC=90°，∴BC⊥AD，AD=2

2

．
∵PB⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴PB⊥AD．∵PB∩BC=B，∴AD⊥平面PBC．…（11分）
∴PD為PA在平面PBC內的射影，∴∠APD為PA與平面PBC所成角．…（12分）
在Rt△ADP中，sinAPD=

AD

AP

=

1

2

，…（13分）
∴∠APD=30°，…（14分）
∴PA與平面PBC所成角大小為30°．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應用，求異面直線間的距離，直線和平面所成的角的大小，屬于中檔題．