Question

已知拋物線C：y=（x+1）²與圓M：(x-1)2+(y-

1

2

)2=r2（r＞0）有一個公共點A，且在A處兩曲線的切線為同一直線l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）設m，n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m，n的交點為D，求D到l的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A（x₀，（x₀+1）²），根據y=（x+1）²，求出l的斜率，圓心M（1，

1

2

），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐標，即可求得r的值；
（Ⅱ）設（t，（t+1）²）為C上一點，則在該點處的切線方程為y-（t+1）²=2（t+1）（x-t），即y=2（t+1）x-t²+1，若該直線與圓M相切，則圓心M到該切線的距離為

5

2

，建立方程，求得t的值，求出相應的切線方程，可得D的坐標，從而可求D到l的距離．

解答：解：（Ⅰ）設A（x₀，（x₀+1）²），
∵y=（x+1）²，y′=2（x+1）
∴l的斜率為k=2（x₀+1）
當x₀=1時，不合題意，所以x₀≠1
圓心M（1，

1

2

），MA的斜率k′=

(x0+1)2- 1 2

x0-1

．
∵l⊥MA，∴2（x₀+1）×

(x0+1)2- 1 2

x0-1

=-1
∴x₀=0，∴A（0，1），
∴r=|MA|=

5

2

；
（Ⅱ）設（t，（t+1）²）為C上一點，則在該點處的切線方程為y-（t+1）²=2（t+1）（x-t），即y=2（t+1）x-t²+1
若該直線與圓M相切，則圓心M到該切線的距離為

5

2

∴

|2(t+1)×1- 1 2 -t2+1|

[2(t+1)]2+1

=

5

2

∴t²（t²-4t-6）=0
∴t₀=0，或t₁=2+

10

，t₂=2-

10

拋物線C在點（t_i，（t_i+1）²）（i=0，1，2）處的切線分別為l，m，n，其方程分別為
y=2x+1①，y=2（t₁+1）x-t12+1②，y=2（t₂+1）x-t22+1③
②-③：x=

t1+t2

2

=2
代入②可得：y=-1
∴D（2，-1），
∴D到l的距離為

|4+1+1|

5

=

6

5

5

點評：本題考查圓與拋物線的綜合，考查拋物線的切線方程，考查導數知識的運用，考查點到直線的距離公式的運用，關鍵是確定切線方程，求得交點坐標．