Question

AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的任意一條與x軸不垂直的弦，O是橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點(diǎn)，則K_AB•K_OM的值為（　�。�

• A、e-1
• B、1-e
• C、e²-1
• D、1-e²

Answer 1

分析：設(shè)出弦AB所在的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂，的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得y₁+y₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，表示出M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，求得直線OM的斜率，進(jìn)而代入k_AB•k_OM中求得結(jié)果．

解答：解：設(shè)直線為：y=kx+c
聯(lián)立橢圓和直線

y=kx+c x2 a2 + y2 b2 =1

消去y得
b²x²+a²（kx+c）²-a²b²=0，即 （b²+k²a²）x²+2a²kcx+a²（c²-b²）=0
所以：x₁+x₂=-

2a 2kc

b2+k2a2

所以，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：M_x=

1

2

（x₁+x₂）=-

a 2kc

b2+k2a2

又：y₁=kx₁+c
y₂=kx₂+c
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2c=

2b2c

b2+k2a2

所以，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)M_y=

1

2

（y₁+y₂）=

b2c

b2+k2a2

所以：Kom=

My

Mx

=

b2c b2+k2a2

a 2kc b2+k2a2

=-

b．2

a2k

所以：
k_AB•k_OM=k×（-

b．2

a2k

）=-

b．2

a2

=e²-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理求解，涉及弦的中點(diǎn)及中點(diǎn)弦問(wèn)題，利用差分法較為簡(jiǎn)便．