Question

已知命題：“若數列{a_n}為等差數列，且a_m=a，a_n=b（m≠n，m，n∈N⁺），則am+n=

ma-nb

m-n

”．現已知數列{b_n}（b_n＞0，n∈N⁺）為等比數列，且b_m=a，b_n=b（m≠n，m，n∈N⁺）．
（1）請給出已知命的證明；
（2）類比（1）的方法與結論，推導出b_m+n．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的性質可分別表示出a_m+n，聯立方程求得a_m和a_n的值，代入原來的方程組中聯立求得（m-n）a_m+n=ma-nb，則a_m+n的表達式可得．
（2）根據等差數列的性質可分別表示出b_n+m，聯立方程求得b_m和b_n的值，代入原來的方程組中聯立求得

b

m+n m-n

=

am

bn

，則b_m+n的表達式可得．

解答：解：（1）因為在等差數列{a_n}中，由等差數列性質得

am+n=am+nd am+n=an+md

，又a_m=a，a_n=b，
∴

am+n=a+nd am+n=b+md

，得

mam+n=ma+mnd nam+n=nb+mnd

，兩式相減得（m-n）a_m+n=ma-nb，
∴am+n=

ma-nb

m-n

．
（2）在等比數列{b_n}中，由等比數列的性質得

bm+n=bm•qn bm+n=bn•qm

，
又b_m=a，b_n=b，∴

bm+n=a•qn bm+n=b•qm

，得

b m m+n =am•qmn b n m+n =bn•qmn

，兩式相除得

b

m-n m+n

=

am

bn

，
∴bm+n=

m-n	am bn

．

點評：本題主要考查了等比數列和等差數列的性質．考查了等比數列和等差數列通項公式的應用．