Question

已知函數f（x）=-x²+2ax+1-a在0≤x≤1時有最大值2，求a的值．

Answer 1

分析：二次函數求最值，要注意討論對稱軸與區間的位置關系，求出最值后等于2，即可求a的值

解答：解：原函數的對稱軸為x=a，開口向下
①當a＜0時，f（x）在[0，1]上單調遞減
∴f（x）的最大值為f（0）=1-a=2
∴a=-1＜0
∴a=-1符合題意
②當0≤a≤1時
f（x）的最大值為f（a）=-a²+2a²+1-a=a²-a+1=2
∴a=

1- 5

2

或a=

1+ 5

2

∉[0，1]
∴不合題意，無解
③當a＞1時，f（x）在[0，1]上單調遞增
∴f（x）的最大值為f（1）=-1+2a+1-a=a=2＞1
∴a=2符合題意
綜①②③得a=-1或a=2

點評：本題考察二次函數求最值問題，注意對稱軸與區間的位置關系，當對稱軸于區間的位置關系不確定時，須分類討論，從而得到原函數的單調性，進而可以求最值