Question

設A、B兩點坐標分別為（1，0）、（-1，0），若k_MA·k_MB=-1，求動點M的軌跡方程.

Answer 1

解：設M的坐標為（x,y），M屬于集合P={M|k_MA·k_MB=-1}.由斜率公式，點M所適合的條件可表示為-1·=-1(x≠±1)，整理，得x²+y²=11x≠±1).下面證明x²+y²=1(x≠±1)是點M的軌跡方程.

（1）由求方程的過程，可知M的坐標都是方程x²+y²=1(x≠±1)的解；

（2）設點M₁的坐標（x₁,y₁）是方程x²+y²=1(x≠±1)的解，

即x₁²+y₁²=1(x₁≠±1)，y₁²=1-x₁²(x₁≠±1),-1·=-1,

∴k·k=-1.

由上述證明，可知方程x²+y²=1(x≠±1)是點M的軌跡方程.