Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．M是PD的中點．
（Ⅰ）證明PB∥平面MAC
（Ⅱ）證明平面PAB⊥平面ABCD
（Ⅲ）求四棱錐p-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為OM是中位線，所以PB∥OM．因為PB?平面MAC，OM?平面MAC，所以PB∥平面MAC．
（Ⅱ）由題設PA=2，PD=2

2

可得PA²+AD²=PD²于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．進而可得平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅲ）過點P做PH⊥AB于H，因為平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD，由題意得求三棱錐的高PH=

3

．可得三棱錐的體積是2

3

．

解答：解（Ⅰ）證明在△PBD中，
∵OM是中位線
∴PB∥OM
∵PB?平面MAC，
OM?平面MAC，∴PB∥平面MAC．
（Ⅱ）由題設PA=2，PD=2

2

可得PA²+AD²=PD²于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
∵AD?平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：過點P做PH⊥AB于H，
∵平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=AB
∴PH⊥平面ABCD，
在Rt△PHA中PH=PAsin60°=2×

3

2

=

3

∴Vp-ABCD=

1

3

AB×AD×PH=

1

3

×3×2×

3

=2

3

點評：證明線面平行只要在平面內找到一條直線與已知直線平行即可，證明面與面垂直只要證明其中一個平面過另一個平面的垂線即可，求三棱錐的體積關鍵是找到一個高并且簡單易求．