Question

已知函數f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2，對任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀），則實數a的取值范圍是

[-1，

1

2

]

．

Answer 1

分析：由任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀），可得g（x）=ax+2在x₁∈[-1，2]的值域為f（x）=x²-2x在x₀∈[-1，2]的值域的子集，構造關于a的不等式組，可得結論．

解答：解：當x₀∈[-1，2]時，由f（x）=x²-2x得，
f（x₀）=[-1，3]，
又∵任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀），
∴當x₁∈[-1，2]時，g（x₁）⊆[-1，3]
當a＜0時，

-a+2≤3 2a+2≥-1

，解得a≥-1；
當a=0時，g（x₁）=2恒成立，滿足要求；
當a＞0時，

-a+2≥-1 2a+2≤3

，解得a≤

1

2

綜上所述實數a的取值范圍是[-1，

1

2

]
故答案為：[-1，

1

2

]

點評：本題考查的知識點是二次函數在閉區間上的最值，其中根據已知分析出“g（x）=ax+2在x₁∈[-1，2]的值域為f（x）=x²-2x在x₀∈[-1，2]的值域的子集”是解答的關鍵．