Question

如圖，P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁對角線AC₁上一動點，設AP的長度為x，若△PBD的面積為f（x），則f（x）的圖象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：先設正方體的棱長為1，連接AC交BD于O，連PO，則PO是等腰△PBD的高，從而△PBD的面積為f（x）=

1

2

BD×PO，再在在三角形PAO中，利用余弦定理得出PO，最后得出f（x）的解析式，畫出其圖象，對照選項即可解決問題．

解答：解：設正方體的棱長為1，連接AC交BD于O，連PO，則PO是等腰△PBD的高，
故△PBD的面積為f（x）=

1

2

BD×PO，
在三角形PAO中，PO=

PA2+AO2-2PA×AOcos∠PAO

=

x2+ 1 2 -2x× 2 2 × 2 3

，
∴f（x）=

1

2

×

2

×

x2+ 1 2 -2x× 2 2 × 2 3

=

2

2

x2- 2 3 x+ 1 2

，
畫出其圖象，如圖所示，
對照選項，A正確．
故選A．

點評：本小題主要考查棱柱的結構特征、函數的圖象等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．