Question

某商場預計，2010年1月份起前x個月顧客對某種商品的需求總量p（x）（單位：件）與x的關系近似地滿足p（x）=

1

2

x（x+1）（39-2x），（x∈N^*，且x≤12）．該商品第x月的進貨單價q（x）（單位：元）與x的近似關系是q（x）=

150+2x (x∈N*，且1≤x≤6) 185- 160 x (x∈N*，且7≤x≤12)

．
（1）寫出今年第x月的需求量f（x）件與x的函數關系式；
（2）該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，試問商場2010年第幾月份銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為多少元？

Answer 1

分析：（1）根據所給的前x個月顧客對某種商品的需求總量p（x），可以寫出第x個月的對貨物的需求量，注意驗證第一個月的需求量符合表示式．
（2）根據所給的表示式，寫出每一個月的利潤的表示式，是一個分段函數，求出分段函數的最大值，把兩個最大值進行比較，得到利潤的最大值．

解答：解：（1）當x=1時，f（1）=p（1）=37，
當2≤x≤12，且x∈N^*時，
f（x）=P（x）-P（x-1）=

1

2

x（x+1）（39-2x）-

1

2

（x-1）x（41-2x）=-3x²+40x．
驗證x=1符合f（x））=-3x²+40x（x∈N^*，且1≤x≤12）
（2）該商場預計第x月銷售該商品的月利潤為：
g（x）=6x³-185x²+1400x（x∈N，1≤x≤6）
g（x）=-480x+6400 （x∈N.7≤x≤12
當1≤x≤6，x∈N時g′（x）=18x²-370x+1400，
令g′（x）=0，解得x=5，x=

140

9

（舍去）．
當1≤x≤5時，g′（x）＞0，當5＜x≤6時，g′（x）＜0，
∴當x=5時，g（x）_max=g（5）=3125（元）．
當7≤x≤12，x∈N時，g（x）=-480x+6400是減函數，
當x=7時，g（x）的最大值等于g（7）=3040（元），
綜上，商場2009年第5月份的月利潤最大，最大利潤為3125元．

點評：本題考查函數模型的選擇和導數的應用，本題解題的關鍵是寫出分段函數，要分別求出兩段函數的最大值，進行比較．