Question

已知雙曲線與橢圓

x2

9

+

y2

25

=1有相同的焦距，它們離心率之和為

14

5

，則此雙曲線的標準方程是

 

．

Answer 1

分析：首先由橢圓方程知其焦點在y軸上，并求出半焦距c與離心率e，然后設出雙曲線的標準方程，并由它們離心率之和求出雙曲線的離心率

c

a

，進而求得a，再根據雙曲線的性質b²=c²-a²求得b²，則問題解決．

解答：解：由橢圓方程知其焦點在y軸上，且c=

25-9

=4，e=

4

5

，
則設雙曲線的標準方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，
那么有

c

a

+

4

5

=

14

5

，解得a=2，
所以b²=c²-a²=16-4=12，
因此雙曲線的標準方程為

y2

4

-

x2

12

= 1．
故答案為

y2

4

-

x2

12

=1．

點評：本題主要考查橢圓、雙曲線的標準方程與性質．