Question

（本題滿分12分） 已知函數．
（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；
（2）若函數在處取得極值，對,恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當且時，試比較的大小．

Answer 1

（1）當時在上沒有極值點，
當時，在上有一個極值點（2）（3）當0<x<e時,當e<x<e²時

解析試題分析：（Ⅰ），當時，在上恒成立，函數 在單調遞減，∴在上沒有極值點；
當時，得，得，
∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．
∴當時在上沒有極值點，
當時，在上有一個極值點．-----3分
（Ⅱ）∵函數在處取得極值，∴，
∴，---------5分
令，可得在上遞減，在上遞增，
∴，即．------- 7分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e²)上單調減
∴0<x<y<e²時， 即
當0<x<e時，1-lnx>0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴
當e<x<e²時，1-lnx<0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴-----12分
考點：利用函數的導數求極值最值單調區間
點評：不等式恒成立問題常轉化為求函數最值問題。