Question

已知函數(shù)f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+m的圖象經(jīng)過點(diǎn)(

π

4

，2)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的m值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值及此時x的值的集合；
（III）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由題意得 

2

sin（

3π

4

）+m=2，解得實(shí)數(shù)的m值．
（Ⅱ）當(dāng) sin(2x+

π

4

)=1時，f（x）的最大值為1+

2

，由2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，求得 x值的集合．
（III）由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

 得到x的范圍，就是函數(shù)的增區(qū)間，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

 得到 x的范圍，就是函數(shù)的減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ） 由題意得   f(

π

4

)=2，

2

sin（

3π

4

）+m=2，解得 m=1．
（Ⅱ）由（I）得，f(x)=1+

2

sin(2x+

π

4

)，∴當(dāng) sin(2x+

π

4

)=1時，f（x）的最大值為1+

2

，
由sin(2x+

π

4

)=1，得 2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z，故 x值的集合為{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．
（III）由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

 得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
故增區(qū)間為  [kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．同理由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，
得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，故 減區(qū)間為 [kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．

點(diǎn)評：本題考查求三角函數(shù)的最值，求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，利用單調(diào)性求最值是解題的難點(diǎn)．