Question

已知各項均為正數的數列{a_n}滿足2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，n為正整數，且a3+

1

32

是a2，a4的等差中項，
（1）求數列{a_n}通項公式；
（2）若Cn=-

log an 1 2

an

•Tn=C1+C2+…+Cn求使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整數n的最小值．

Answer 1

分析：（1）把2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0進行分解，可得an+1=

1

2

an，進而得到數列{a_n}是等比數列，并且公比為

1

2

，結合a3+

1

32

是a2，a4的等差中項可得答案．
（2）由（1）可得C_n=-n•2ⁿ，利用錯位相減法可得：T_n=（1-n）•2^n-1-2，所以要使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立，只要2ⁿ⁺¹＞127即可，所以n≥6．

解答：解：（1）根據題意可得：2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，
所以（a_n+1+2a_n）（2a_n+1-a_n）=0，
因為數列{a_n}各項均為正數，
所以an+1= 

1

2

an，
所以數列{a_n}是等比數列，并且公比為

1

2

．
因為a3+

1

32

是a2，a4的等差中項，
所以a2+a4=2a3+

1

16

，即a1q+a1q3=2a1q2+

1

16

，
解得：a1=

1

2

．
所以數列{a_n}通項公式為an=(

1

2

)n．
（2）由（1）可得C_n=-n•2ⁿ，
所以T_n=-2-2×2²-3×2³-…-n×2ⁿ…①，
所以2T_n=-2²-2×2³-3×2⁴…-（n-1）2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹…②
所以①-②并且整理可得：T_n=（1-n）•2^n-1-2．
所以要使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立，只要使2ⁿ⁺¹-2＞125成立，即2ⁿ⁺¹＞127，
所以n≥6，
所以使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整數n的最小值為6．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握求數列通項的方法并且充分分析已知條件，熟練掌握求數列的前n項和的方法即可解決問題．