Question

某蔬菜基地準備建一批蔬菜大棚，蔬菜大棚的橫截面為如圖所示的等腰梯形，∠ABC=120°，按照設計要求，其橫截面面積為9

3

平方米．為了使建造的大棚用料最省，橫截面的周長（梯形的底BC與兩腰長的和）必須最小．設大棚高為x米．
（1）當x為多少米時，用料最省？
（2）如果大棚的高度設計在[

3

，2]范圍內，求橫截面周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用平面幾何知識，把橫截面上底、下底和腰都用高x表示，直接寫出周長，然后利用基本不等式求出最小值；
（2）利用函數單調性的定義證出周長關于高度的函數在[

3

，2]范圍內為減函數，則橫截面周長的最小值可求．

解答：解：（1）由題意知：

1

2

(AD+BC)x=9

3

，AD=BC+2x•

1

tan60°

=BC+

2 3

3

x，
所以

1

2

(2BC+

2 3

3

x)x=9

3

，解得BC=

9 3

x

-

3

3

x．
設橫截面周長為l，則l=2AB+BC=

2x

sin60°

+

9 3

x

-

3

3

x  
=

3

x+

9 3

x

≥6

3

，
當

3

x=

9 3

x

，即x=3時等號成立，所以橫截面周長的最小值為6

3

，
此時大棚高x為3米；                               
（2）由（1）知橫截面周長l=

3

x+

9 3

x

=

3

(x+

9

x

)．
設

3

≤x1＜x2≤2，
因為x2+

9

x2

-x1-

9

x1

=(x2-x1)(1-

9

x1x2

)，
當

3

≤x1＜x2≤2時，x2-x1＞0，1-

9

x1x2

＞0，
所以(x2-x1)(1-

9

x1x2

)＞0，則l是x在[

3

，2]的減函數，
所以lmin=

3

×2+

9 3

2

=

13 3

2

（米），當x=2時取得最小值．
所以如果大棚的高度設計在[

3

，2]范圍內，橫截面周長的最小值為

13 3

2

米．

點評：本題考查了根據實際問題對函數模型的選擇及應用，考查了函數單調性的判斷方法，訓練了利用基本不等式求函數最值，是中檔題．