Question

已知在三棱錐S-ABC中，底面是邊長為4的正三角形，側面SAC⊥底面ABC，M，N分別是AB，SB的中點，SA=SC=：
（1）求證AC⊥SB
（2）求二面角N-CM-B的大小
（3）求點B到面CMN的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意取AC中點D，連接SD、DB．則可證AC⊥平面SDB，從而AC⊥SB；
（2）過N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，過E作EF⊥CM于F，連接NF，則NF⊥CM．從而∠NFE為二面角N-CM-B的平面角．在Rt△NEF中，利用正切函數，可求二面角N-CM-B的大小；
（3）設點B到平面CMN的距離為h，根據V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，可求點B到平面CMN的距離．
解答：解：（1）取AC中點D，連接SD、DB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∵SD∩BD=D
∴AC⊥平面SDB，
又SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．
（2）∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC．
過N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
過E作EF⊥CM于F，連接NF，
則NF⊥CM．
∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角．
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC．
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．
∵SN=NB，∴NE=SD==，且ED=EB．
在正△ABC中，由平幾知識可求得EF=，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=，
∴二面角N-CM-B的大小是arctan．
（3）在Rt△NEF中，NF=，
∴S_△CMN=CM•NF=，S_△CMB=BM•CM=2．
設點B到平面CMN的距離為h，
∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，
∴S_△CMN•h=S_△CMB•NE，
∴h=．即點B到平面CMN的距離為．
點評：本題以三棱錐為載體，考查線面垂直，線線垂直，考查面面角，考查點面距離，同時考查等體積轉化思想．解題的關鍵是正確運用線面垂直的判定，正確作出面面角，