Question

（1）我潛艇在海島A南偏西

π

6

，相距海島12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由海島A朝正東方向以10節(jié)的速度航行，我潛艇要用2小時(shí)追上敵艦，求我潛艇需要的速度大小（1節(jié)等于每小時(shí) 1海里）；
（2）如果直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=1的右支有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)在點(diǎn)C出追上敵艦，設(shè)潛艇航速x節(jié)，在三角形ABC中，AB=12，BC=20，AC=2x，∠BAC=

π

6

+

π

2

=

2π

3

，由余弦定理可求
（2）聯(lián)立方程

y=kx-1 x2-y2=1

消去y可得（1-k²）x²+2kx-2=0，結(jié)合題意可得此方程有2個(gè)不同的正根，結(jié)合方程的根的分布可求k的范圍

解答：解：（1）設(shè)在點(diǎn)C出追上敵艦，設(shè)潛艇航速x節(jié)
在三角形ABC中，AB=12，BC=20，AC=2x，∠BAC=

π

6

+

π

2

=

2π

3

由余弦定理可得，cosABC=

BA2+BC2-AC2

2BA•BC

=

122+202-(2x)2

2•12•20

=-

1

2

可解得x=14                    
（2）聯(lián)立方程

y=kx-1 x2-y2=1

消去y可得（1-k²）x²+2kx-2=0，
則有

1-k2≠0 △＞0 -2k 1-k2 ＞0 -2 1-k2 ＞0

⇒1＜m＜

2

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 -2k 1-k2 ＞0 -2 1-k2 ＞0

∴

k2≠1 k2＜2 k k2-1 ＞0 2 k2-1 ＞0

∴

k≠±1 - 2 ＜k＜ 2 k＞0或-1＜k＜0 k＞1或k＜-1

∴1＜k＜

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理在求解實(shí)際問題中的應(yīng)用及直線與雙曲線相交關(guān)系的應(yīng)用，屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．