Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，O為AC和BD的交點，過A、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-AC₁D_l，且這個幾何體的體積為．
（1）求證：OD₁∥平面BA₁C₁
（2）求棱A₁A的長：
（3）求點D₁到平面BA₁C₁的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證OD_l∥平面BA₁C₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證OD_l與平面BA₁C₁內一直線平行，取A₁C₁的中點M，連接BM，MD₁，易證四邊形OBMD₁是平行四邊形，則OD₁∥BM，BM?平面BA₁C₁，滿足定理所需條件；
（2）沒A₁A=h，由題意可知VABCD-A1C1D1=

V	ABCD-A1B1C1D1

-VB-A1B1C1=10建立等式關系，求出所求即可；
（3）點D₁到平面BA₁C₁的距離即為點B₁到平面BA₁C₁的距離d，根據VB1-BA1C1=VABCD-A1B1C1D1-10建立等式關系解之即可求出點D₁到平面BA₁C₁的距離．

解答：解：（1）證明：取A₁C₁的中點M，連接BM，MD₁，則MD1

∥ .

.

BO
所以四邊形OBMD₁是平行四邊形，OD₁∥BM
又BM?平面BA₁C₁
∴OD_l∥平面BA₁C₁（4分）
（2）設A₁A=h，由題設可知VABCD-A1C1D1=

V	ABCD-A1B1C1D1

-VB-A1B1C1=10（6分）
得SABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=10，即2×2×h-

1

3

ו

1

• 2

×2×2×h=10
解得h=3
棱A₁A的長為3（10分）
（3）點D₁到平面BA₁C₁的距離即為點B₁到平面BA₁C₁的距離d．B!M=

2

，BM=

B B 2 1 • + B1．M2

=

32+( 2 )2

．=

11

∴SBA1C1=

1

2

×A1C]×BM=

1

2

×2

2

×

11

=

22

（12分）
又VB1-BA1C1=VABCD-A1B1C1D1-10

1

3

SBA.1C1d=2×2×3-10=2
∴

1

3

×

22

×d=2∴d=

3 22

11

點D₁到平面BA₁C₁的距離

3 22

11

（14分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及利用體積法求高和點到平面的距離的度量，同時考查了空間想象能力、計算能力、轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．