Question

【題目】已知為等差數列，前項和為，是首項為的等比數列，且公比大于，，，.

（1）求和的通項公式；

（2）求數列的前項和；

（3）設，為數列的前項和，求不超過的最大整數.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，根據題意得出關于的方程，求出的值，可得出等比數列的通項公式，進而可得出關于和的方程組，求出這兩個量，然后利用等差數列的通項公式可求出數列的通項公式；

（2）求出數列的通項公式，然后利用錯位相減法可求出該數列的前項和；

（3）求出，可得出，然后利用分組求和法與裂項求和法求出，可得出，由此可得出不超過的最大整數.

（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為.

由已知，得，而，.

又，解得，.

由，可得 ①，

由，可得 ②，

聯立①②，解得，，由此可得.

數列的通項公式為，數列的通項公式為；

（2）設數列的前項和為，

由，，有，

，

，

上述兩式相減，得.

得，數列的前項和為；

（3）由（1）知：，則.

，

，

，因此，不超過的最大整數為.