Question

已知當橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b時，橢圓的面積是πab．請針對橢圓，求解下列問題：
（1）若m，n是實數，且|m|≤5，|n|≤4．求點P（m，n）落在橢圓內的概率；
（2）若m，n是整數，且|m|≤5，|n|≤4．求點P（m，n）落在橢圓外的概率以及點P落在橢圓上的概率．

Answer 1

解：（1）當m，n是實數，且|m|≤5，|n|≤4時，
所有形如（m，n）的點覆蓋的圖形的面積是80．
橢圓圍成的區域在其內部，且面積為20π．
故點P（m，n）落在橢圓內的概率為=
（2）當m，n是整數，且|m|≤5，|n|≤4時，
點P（m，n）共有11×9=99個，
其中點（0，4），（0，﹣4），（5，0），（﹣5，0）四點落在橢圓上．
故點P（m，n）落在橢圓上的概率為
當m＞0，n＞0時，點（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（4，3）（4，4），（3，4），（2，4）（1，4）共9點在橢圓外．
由對稱性知，當m，n是整數，且|m|≤5，|n|≤4時，共有4×9=36個點在橢圓外．
故點P（m，n）落在橢圓外的概率是=．