Question

如圖，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC中點．
（1）證明AB₁∥平面DBC₁；
（2）假設AB₁⊥BC₁，BC=2，求線段AB₁在側面B₁BCC₁上的射影長．

Answer 1

（1）證明：∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，
∴四邊形B₁BCC₁是矩形．連接B₁C，交BC₁于E，則B₁E=EC．連接DE．
在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁，又AB₁?平面DBC₁．DE?平面DBC₁
∴AB₁∥DBC₁．

（2）解：作AF⊥BC，垂足為F．
因為面ABC⊥面B₁BCC₁，所以AF⊥B₁BCC₁平面B₁F．
連接B₁F，則B₁F是AB₁在平面B₁BCC₁內的射影．
∵BC₁⊥AB₁，∴BC₁⊥B₁F．
∵四邊形B₁BCC₁是矩形，∴∠B₁BF=∠BCC₁=90°；
∠FB₁B=∠C₁BC，∴△B₁BF∽△BCC₁．
∴
又F為正三角形ABC的BC邊中點，因而B₁B²=BF•BC=1×2=2，
于是B₁F²=B₁B²+BF²=3，∴B₁F=．
即線段AB₁在平面B₁BCC₁內射影長為

分析：（1）由A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，可知四邊形B₁BCC₁是矩形，連接B₁C，交BC₁于E，則B₁E=EC．連接DE，由三角形中位線定理得到DE∥AB₁，再由線面平行的判定定理得到結論．
（2）先作AF⊥BC，垂足為F．由面ABC⊥面B₁BCC₁，可知AF⊥B₁BCC₁平面B₁F，由身影定義，可得B₁F是AB₁在平面B₁BCC₁內的射影．然后在矩形B₁BCC₁中，由△B₁BF∽△BCC₁求解．
點評：本小題考查空間線面關系，正棱柱的性質，空間想象能力和邏輯推理能力．屬中檔題．