Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，離心率e=

2

2

，點F₂到右準線為l的距離為

2

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設M，N是l上的兩個動點，

F1M

•

F2N

=0，
證明：當|MN|取最小值時，

F1F2

+

F2M

+

F2N

=

0

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據離心率求得a和c的關系，進而根據F₂到右準線為l的距離求得a和c的另一關系式，聯立求得a和c，進而根據a，b和c的關系氣的b．
（Ⅱ）根據（1）中的橢圓方程求得可知橢圓的焦點坐標，則l的方程可得，設出M，N的坐標，根據

F1M

•

F2N

=0求得得y₁y₂的值，代入到|MN|的表達式中，根據均值不等式求得|MN|的最小值，根據等號成立的條件求得y₁和y₂的值，進而求得

F1F2

+

F2M

+

F2N

=

0

，證明原式．

解答：解：（Ⅰ）因為e=

c

a

，F₂到l的距離d=

a2

c

-c，所以由題設得

c a = 2 2 a2 c -c= 2

解得c=

2

，a=2
由b²=a²-c²=2，得b=

2

（Ⅱ）由c=

2

，a=2得F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，l的方程為x=2

2

故可設M(2

2

，y1)，N(2

2

，y2)
由知

F1M

•

F2N

=0知(2

2

+

2

，y1)•(2

2

-

2

，y2)=0
得y₁y₂=-6，所以y1y2≠0，y2=-

6

y1

|MN|=|y1-y2|=|y1+

6

y1

|=|y1|+

1

|y1|

≥2

6

當且僅當y1=±

6

時，上式取等號，此時y₂=-y₁
所以，

F1F2

+

F2M

+

F2N

=(-2

2

，0)+(

2

，y1)+(

2

，y2)=（0，y₁+y₂）=

0

點評：此題重點考查橢圓基本量間的關系，進而求橢圓待定常數，考查向量與橢圓的綜合應用；要熟悉橢圓各基本量間的關系，數形結合，熟練進行向量的坐標運算，設而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的應靈活應用．